今日?qǐng)?bào)丨一次數(shù)學(xué)比賽，誕生了數(shù)學(xué)上至關(guān)重要的概念

虛數(shù)的誕生和推廣頗有戲劇性，而當(dāng)時(shí)人們并不能接受這種數(shù)。

撰文 | 埃爾韋·萊寧

翻譯 | 繆伶超

【資料圖】

“當(dāng)立方在某些物旁/等于某個(gè)普通的數(shù)/在它里面找兩個(gè)不同的數(shù)……”讀起來簡直像丹·布朗的小說《達(dá)·芬奇密碼》里的詩句。然而，這可是白紙黑字、有史可查的。它的作者尼科洛·豐塔納（Niccolo Fontana），也被稱為塔爾塔利亞（Niccolo Tartaglia，1499/1500-1557）生活在文藝復(fù)興時(shí)期的威尼斯。他家境貧寒，全靠自學(xué)成才，依靠教授數(shù)學(xué)課和參加代數(shù)競賽來維生！古怪精靈的他寫下這首詩，引導(dǎo)有興趣的人士探尋一個(gè)被當(dāng)時(shí)智者爭相破解的數(shù)學(xué)秘密。

因?yàn)樗査麃喪且粋€(gè)文藝復(fù)興時(shí)期的典型人物，有時(shí)候更樂于追尋快樂，而非醉心于學(xué)識(shí)的精進(jìn)，那時(shí)的人總是對(duì)數(shù)學(xué)謎題充滿了強(qiáng)烈的興趣。不管是安東尼奧·菲奧爾（Antonio Maria del Fiore）還是吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾（Girolamo Cardano），要不是他們的嬉戲最終揚(yáng)帆起航，駛向全新的世界，來到一整片數(shù)學(xué)的未知之地，這些數(shù)學(xué)家的名字也早已被歷史遺忘。

直到如今，只要一提到復(fù)數(shù)，仍能讓一代代初中生哀嚎連連。想想看那些負(fù)數(shù)的平方根！只有瘋子才會(huì)相信這是可能的。巧得很，這些謎題愛好者還真都有一股瘋勁兒。

圖片來源：oshima-gakushujuku.com

一個(gè)傳統(tǒng)的繼承人

負(fù)數(shù)誕生于代數(shù)方程，是那些以現(xiàn)代形式呈現(xiàn)的方程（見引文《x、＋和=的發(fā)明》）：諸如3x**^**2+5x+2=7，其中x為未知數(shù)。但是為什么叫它代數(shù)方程？“代數(shù)”一詞并非因?yàn)槭褂昧宋粗獢?shù)，而是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米為解方程而使用的操作（“代數(shù)”的詞源也可以追溯到阿拉伯語）：代數(shù)學(xué)家是會(huì)操縱方程兩邊的人，也可以指會(huì)操縱人的四肢的人：在西班牙，土法接骨醫(yī)生仍然被如此稱呼。

最簡單的代數(shù)方程一次方程，如2x+1=x+5。代數(shù)學(xué)家將等號(hào)右邊的x移到左邊，得出x+1=5，然后將等號(hào)左邊的1移到等號(hào)右邊，得出結(jié)果x=4。而為了解二次方程x**^2+6x=7，代數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)x^2+6x是平方（x+3）^2的開頭兩項(xiàng)。于是在等號(hào)左右分別加上9，得到（x+3）^2=16=4^**2。以此類推。

古希臘和古阿拉伯的數(shù)學(xué)家已經(jīng)知道如何解二次方程，即以x2+px=q這樣的形式呈現(xiàn)的方程。他們也遇到了三次方程，但是這類方程的一般解法卻要?dú)w功于他們的意大利繼承——文藝復(fù)興時(shí)期的代數(shù)學(xué)家。希皮奧內(nèi)·德爾·費(fèi)羅者（Scipione del Ferro，1465-1526）第一個(gè)解出一個(gè)常見三次方程，這種方程被稱為無二次項(xiàng)方程，即x**^**3+px=q，其中p和q都是自然數(shù)。

在詳細(xì)介紹費(fèi)羅前，首先要說明所有代數(shù)學(xué)家，不管是不是意大利人，都拒絕方程有負(fù)數(shù)解。這種想法一直持續(xù)到19 世紀(jì)，拉扎爾·卡諾（Lazare Carnot，1753-1823）還寫道：“為了真正得到一個(gè)單獨(dú)的負(fù)數(shù)，就必須在零上切去一個(gè)量，或者從無里去掉一些東西，這是根本不可能辦到的事。那么如何想象一個(gè)獨(dú)立的負(fù)數(shù)呢？”但是遲疑最終讓位，負(fù)的符號(hào)變得稀松平常。從此以后，它改變了數(shù)的意義，就好像形容詞改變了一個(gè)詞的意義。

x、+和=的發(fā)明

方程的現(xiàn)代標(biāo)記法是從哪里來的？誰首先想到用x來指稱未知數(shù)？誰發(fā)明了+、-、=等符號(hào)？第一個(gè)給未知數(shù)命名的是古希臘的丟番圖，我們上文介紹費(fèi)馬大定理的時(shí)候就提到過他。不難想象，要命名一個(gè)未知數(shù)，即我們不知道的東西，對(duì)最早的數(shù)學(xué)家來說并不是什么理所當(dāng)然的事。丟番圖將它稱為arithmos，即希臘語里的“數(shù)”【法語里的arithmétique（算術(shù)）就是由此而來】，并且寫下了包含用各種字母書寫的未知數(shù)和數(shù)字的問題。題目的已知條件和證明都是用相當(dāng)累贅的句子來表達(dá)的……

丟番圖的傳統(tǒng)隨后由中世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家繼承，后者改變了用詞。公元9世紀(jì)，花拉子米將未知數(shù)稱為shay，意為“東西”。文藝復(fù)興時(shí)期的意大利代數(shù)學(xué)家也使用了同一個(gè)詞——意大利語里的cosa。當(dāng)時(shí)深受阿拉伯影響的安達(dá)盧西亞人把這個(gè)詞用拉丁字母寫作xay。勒內(nèi)·笛卡爾（René Descartes，1596-1650）完成了最終的簡化動(dòng)作，只保留了xay的首字母。于是，字母x就找到了在數(shù)學(xué)中的位置，后來又在法律界大展拳腳，并且保留了“被人們尋找的東西（或數(shù)字、人）”的意義。

與此同時(shí)，從弗朗索瓦·維埃特（Fran?ois Viète，1540-1603）開始，標(biāo)記法也逐漸適應(yīng)了用字母——即用未知字母或甚至已知字母——表示的計(jì)算。人們漸漸習(xí)慣了最早的x、y、z等，以及接下來的a、b、c等。運(yùn)算符號(hào)（+、-、×等），表示相等的符號(hào)（=），還有表示不等的符號(hào)（<，>），指數(shù)的寫法（x**^2、x^**3等）也出現(xiàn)了。就這樣，現(xiàn)代標(biāo)記法在18世紀(jì)成形了。為了簡便起見，在這章里，哪怕談到阿拉伯和意大利代數(shù)學(xué)家更早的研究時(shí)，我們也會(huì)使用這些符號(hào)。

方程的現(xiàn)代標(biāo)記法是從哪里來的？誰首先想到用x來指稱未知數(shù)？誰發(fā)明了+、-、=等符號(hào)？第一個(gè)給未知數(shù)命名的是古希臘的丟番圖，我們上文介紹費(fèi)馬大定理的時(shí)候就提到過他。不難想象，要命名一個(gè)未知數(shù)，即我們不知道的東西，對(duì)最早的數(shù)學(xué)家來說并不是什么理所當(dāng)然的事。丟番圖將它稱為arithmos，即希臘語里的“數(shù)”【法語里的arithmétique（算術(shù)）就是由此而來】，并且寫下了包含用各種字母書寫的未知數(shù)和數(shù)字的問題。題目的已知條件和證明都是用相當(dāng)累贅的句子來表達(dá)的……

丟番圖的傳統(tǒng)隨后由中世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家繼承，后者改變了用詞。公元9世紀(jì)，花拉子米將未知數(shù)稱為shay，意為“東西”。文藝復(fù)興時(shí)期的意大利代數(shù)學(xué)家也使用了同一個(gè)詞——意大利語里的cosa。當(dāng)時(shí)深受阿拉伯影響的安達(dá)盧西亞人把這個(gè)詞用拉丁字母寫作xay。勒內(nèi)·笛卡爾（René Descartes，1596-1650）完成了最終的簡化動(dòng)作，只保留了xay的首字母。于是，字母x就找到了在數(shù)學(xué)中的位置，后來又在法律界大展拳腳，并且保留了“被人們尋找的東西（或數(shù)字、人）”的意義。

與此同時(shí)，從弗朗索瓦·維埃特（Fran?ois Viète，1540-1603）開始，標(biāo)記法也逐漸適應(yīng)了用字母——即用未知字母或甚至已知字母——表示的計(jì)算。人們漸漸習(xí)慣了最早的x、y、z等，以及接下來的a、b、c等。運(yùn)算符號(hào)（+、-、×等），表示相等的符號(hào)（=），還有表示不等的符號(hào)（<，>），指數(shù)的寫法（x**^2、x^**3等）也出現(xiàn)了。就這樣，現(xiàn)代標(biāo)記法在18世紀(jì)成形了。為了簡便起見，在這章里，哪怕談到阿拉伯和意大利代數(shù)學(xué)家更早的研究時(shí)，我們也會(huì)使用這些符號(hào)。

寫在筆記本上的解法

為什么我們沒有絕對(duì)的證據(jù)來證明費(fèi)羅解開了普遍意義上的三次方程？因?yàn)樗麤]有正式公布，而是將自己的發(fā)現(xiàn)寫在了一本筆記本上，只有身邊的親友才有機(jī)會(huì)一睹為快。這種做法其實(shí)在當(dāng)時(shí)很常見，代數(shù)挑戰(zhàn)盛行于世，常常伴隨著經(jīng)濟(jì)或職業(yè)上的獎(jiǎng)勵(lì)，因?yàn)楸荣惖莫?jiǎng)勵(lì)往往就是在大學(xué)任教的教職。但是那個(gè)時(shí)代有一種提前出現(xiàn)的Dolce Vita之風(fēng)（意大利語里的“甜美的生活”，指一種放松隨意的生活方式），獎(jiǎng)賞也有可能是一場饗宴……

費(fèi)羅把三次方程的解法告訴了一個(gè)有點(diǎn)多嘴的女婿，后者又傳給了他的朋友安東尼奧·瑪利亞·德爾·菲奧爾（Antonio Maria del Fiore）。菲奧爾對(duì)此保持緘默，一直等到費(fèi)羅去世，在參加數(shù)學(xué)比賽時(shí)，使用了費(fèi)羅的秘密武器，當(dāng)時(shí)的比賽經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)由三次方程支配的題目。然而在一次挑戰(zhàn)中，他與尼科洛·塔爾塔利亞對(duì)陣，就是我們上文提到的詩歌的作者。其實(shí)他真名叫豐塔納，塔爾塔利亞是他的諢號(hào)，意為"結(jié)巴"，他在1512年法國軍隊(duì)圍困布雷西亞時(shí)受了傷，導(dǎo)致口吃。塔爾塔利亞是一個(gè)比賽狂人，而與菲奧爾的狹路相逢馬上就有了決戰(zhàn)紫禁之巔的意味。

比 賽

兩位數(shù)學(xué)家各自在公證人那里留下30道題目，要求對(duì)方在40天內(nèi)給出解答。列出的題目全部都是以各種面目出現(xiàn)的三次方程。比如說向豐塔納拋出的一個(gè)挑戰(zhàn)是：“一個(gè)放高利貸的人出借一筆錢款，條件是到年底要還的利息是本金的立方根。到了年底，放高利貸的人收到了800杜卡托，包括本金和利息。那么本金是多少？”

如果我們把利息記作x杜卡托，本金是x的三次方，那么這道題目的條件就可以寫作x**^3+x=800。既然這道題目是個(gè)現(xiàn)實(shí)問題，那么只要注意到103+10=1010>800，而9^**3+9=738<800，就能確定x在9到10杜卡托之間。再嘗試幾次，就能得出x=9.24727，那么本金就是790.75杜卡托。

當(dāng)然，哪怕這個(gè)答案已經(jīng)完全能說清楚放高利貸者及其顧客之間的往來生意，但是這并非這道題所期待的解。豐塔納必須找到一個(gè)能用整數(shù)、四則運(yùn)算和根號(hào)來表達(dá)的精確解。事實(shí)上，這個(gè)答案在商業(yè)交易中也沒什么用處，已經(jīng)進(jìn)入了純數(shù)學(xué)的范疇。下面請(qǐng)看用塔爾塔利亞的方法進(jìn)行繁雜的計(jì)算后得到的解：

看上去很能嚇唬人吧？費(fèi)羅只會(huì)解一種方程，就是上文提到的那種，而塔爾塔利亞贏得了對(duì)戰(zhàn)，卻放棄了獎(jiǎng)賞（他被邀請(qǐng)參加三十場筵席?。?。

解法就在詩歌中

塔爾塔利亞一直沒有公開他的解題方法，直到另一個(gè)人物吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾（Girolamo Cardano，1501-1576）的出現(xiàn)?？栠_(dá)諾是一個(gè)復(fù)雜的人物，他既是醫(yī)生，又是數(shù)學(xué)家，還是天文學(xué)家，他發(fā)明了一個(gè)以自己名字命名的車輛傳動(dòng)系統(tǒng)。1539年，他邀請(qǐng)塔爾塔利亞到他位于米蘭的家中做客，說服他將秘密透漏給自己，并承諾絕不外傳。塔爾塔利亞就作了一首詩：

當(dāng)立方在某些物旁

等于某個(gè)普通的數(shù)

在它里面找兩個(gè)不同的數(shù)

然后你就習(xí)慣了

其乘積永遠(yuǎn)等于

某些物的立方的三分之一。

第一行似乎捉摸不透。然而，在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家的傳統(tǒng)里，“物”就是未知數(shù)（用現(xiàn)代標(biāo)記法來說，就是x），“某些物”就是x的整數(shù)倍數(shù)（也就是px），而“物的立方”是未知數(shù)的三次方（x**^3）。第二行（“等于某個(gè)普通的數(shù)”）引入了一個(gè)數(shù)，即q，所以產(chǎn)生了方程x^**3+px=q。

接下來的詩闡述了方法……卡爾達(dá)諾后來在其著作《大術(shù)》（Ars magna）里公布了【卡爾達(dá)諾并不能算是剽竊者，因?yàn)樗粌H證明了塔爾塔利亞的方法，而且他還探討了所有三次方程的例子，并且補(bǔ)充了其弟子盧多維科·費(fèi)拉里（Ludovico Ferrari）的四次方程的解法】。在卡爾達(dá)諾公布的方法里，有一種會(huì)在數(shù)學(xué)史上起到關(guān)鍵作用。多虧了一個(gè)比其他人更執(zhí)著的數(shù)學(xué)家，這一方法引向一個(gè)理論上相當(dāng)離奇的概念：虛數(shù)。

意大利人卡爾達(dá)諾（Girolamo Cardano）是文藝復(fù)興時(shí)期通才型（polymath）學(xué)者，在數(shù)學(xué)、物理、天文、機(jī)械、化學(xué)、哲學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域均有杰出貢獻(xiàn)。圖片來源：wiki

沒有實(shí)數(shù)解法，然而……

生活在博洛尼亞的拉斐爾·邦貝利（Raphael Bombelli，1526-1572）讀了卡爾達(dá)諾的著作，試圖用他的方法來解方程x**^3=15x+4。正如塔爾塔利亞在詩中建議的那樣（在它里面找兩個(gè)不同的數(shù)），邦貝利首先寫下x=u+v，隨后根據(jù)塔爾塔利亞的建議，指定附加條件w=5（其乘積永遠(yuǎn)等于某些物的立方的三分之一），將方程簡化為u^2+v^3=4。寫下U=u^3和V=v^3之后，就得到一個(gè)丟番圖之后的經(jīng)典系統(tǒng)：兩個(gè)數(shù)（U和V）的和與乘積是已知的（4和125）。他推斷出，U和V是二次方程X^2-4X+125=0的解。該方程可以寫作(X-2)^**2=-121。

邦貝利（Raphael Bombelli），16世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家，對(duì)于復(fù)數(shù)的運(yùn)用領(lǐng)先于他的時(shí)代。圖片來源：MacTutor

實(shí)際上，全新的數(shù)字誕生了，雖然人們當(dāng)時(shí)還無法理解它們意味著什么。它們給出能驗(yàn)算的正確結(jié)果，所以被納入了數(shù)的大家庭。笛卡爾稱其為“虛數(shù)”，為了將它與其他數(shù)區(qū)分開來，因?yàn)橄啾戎?，其他?shù)就變成了“真實(shí)的數(shù)”。就這樣，一個(gè)概念從純粹的代數(shù)運(yùn)算中誕生了。

i上的點(diǎn)

邦貝利使用的的標(biāo)記法在法國中學(xué)課本里已經(jīng)不再使用，取而代之的是18世紀(jì)歐拉提議的i，i作為虛數(shù)（imaginaire）一詞的首字母，堪當(dāng)重任?！皬?fù)數(shù)”這個(gè)名字來自高斯，他認(rèn)為數(shù)學(xué)應(yīng)扎根于物質(zhì)現(xiàn)實(shí)中，所以并不喜歡當(dāng)時(shí)使用的“虛數(shù)”一詞。約翰·沃利斯（John Wallis，1616-1703）第一個(gè)將這些數(shù)用幾何法表現(xiàn)成在平面上的點(diǎn)，由此賦予它們一種物質(zhì)現(xiàn)實(shí)。使用了歐拉標(biāo)記法后，復(fù)數(shù)就是以a+ib的形式出現(xiàn)的數(shù)，而a和b都是實(shí)數(shù)。

我們用復(fù)數(shù)集來指代復(fù)數(shù)整體，因?yàn)閺?fù)數(shù)也可以進(jìn)行四則運(yùn)算，而四則運(yùn)算在復(fù)數(shù)里也具有通常的特點(diǎn)，如結(jié)合律、交換律和分配律。此話怎講？只需要在常用規(guī)則之外增加一條：i**^**2=-1。威廉·哈密頓（William Hamilton，1805-1865）想出了這個(gè)主意，并且將它普遍化，發(fā)明了能描述宇宙旋轉(zhuǎn)的四元數(shù)。都柏林有一座布魯姆橋（現(xiàn)稱為金雀花橋）就是見證，因?yàn)楣茴D是在此橋上散步時(shí)靈光一現(xiàn)的，所以他激動(dòng)之余，在橋上刻下了公式（至少他是這樣講的，因?yàn)楝F(xiàn)如今橋上只留下了一塊銘牌以資紀(jì)念）。對(duì)于懂行的人來說，只要跨過這座橋就能進(jìn)入一個(gè)……“虛”幻的世界。

代數(shù)基本定理

發(fā)明嚴(yán)格包括復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)域到底有沒有用？數(shù)學(xué)家熱衷于思考這類在普通人眼里毫無意義的問題。如果目的是解開方程，那么答案是否定的。為什么？很簡單，因?yàn)槲覀兛梢宰C明復(fù)數(shù)域包含所有復(fù)系數(shù)方程的根。

我們將這一特點(diǎn)總結(jié)為，復(fù)數(shù)域是代數(shù)封閉的。更確切點(diǎn)說，所有實(shí)系數(shù)或復(fù)系數(shù)n次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域里都正好有n 個(gè)不同的或混合的解。這一結(jié)果被稱為代數(shù)基本定理。由阿爾貝特·吉拉爾（Albert Girard，1595-1632）首先設(shè)想出來，隨后由高斯證明。令人驚奇的是，雖然這是一個(gè)純代數(shù)結(jié)果，但證明它卻利用了解析法。

作者介紹

埃爾韋?萊寧（Hervé Lehning），法國數(shù)學(xué)研究者。1976畢業(yè)于里昂高等師范學(xué)院（ENS Lyon），獲得數(shù)學(xué)學(xué)位。同時(shí)，他還是一家保險(xiǎn)公司的計(jì)算機(jī)分析員。自1981年以來，他一直在巴黎百年老校詹森?德薩伊（Janson de Sailly）中學(xué)教數(shù)學(xué)，并在巴黎中央理工學(xué)院（Ecole Central de Paris）教計(jì)算機(jī)科學(xué)。他寫了幾本關(guān)于計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用及其教學(xué)的書和文章。閑暇時(shí)候，他特別享受攀巖、登山和平靜的家庭生活。他對(duì)密碼學(xué)充滿熱情，是一位成功的普及者，著有《密碼的世界：從古代到互聯(lián)網(wǎng)》（2012），主編《數(shù)學(xué)史一千年》（2005）、《代數(shù)方程》（2005）、《變形：從幾何到藝術(shù)》（2009）等作品。

本文經(jīng)授權(quán)節(jié)選自《世間萬數(shù)》（北京聯(lián)合出版公司·低音，2022.10），原標(biāo)題為《創(chuàng)造虛數(shù)的瘋狂方程》略有改動(dòng)，圖片為編輯所加。

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標(biāo)簽： 塔爾塔利亞 三次方程 代數(shù)方程