神奇的周期三：一個(gè)發(fā)表在大眾雜志上的數(shù)學(xué)定理_天天熱推薦

1975年12月期的《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》(The American Mathematical Monthly) 發(fā)表的一篇文章Period three implies chaos（《周期三則意味著混沌》），在數(shù)學(xué)上第一次創(chuàng)造了混沌一詞，引領(lǐng)了科學(xué)界和數(shù)學(xué)界探索自然演化和函數(shù)迭代過(guò)程中那些展現(xiàn)出未來(lái)不可預(yù)測(cè)性的新浪潮。該文不僅是從科學(xué)領(lǐng)域中提煉出數(shù)學(xué)洞見(jiàn)的典范之作，而且還以豐富的內(nèi)涵反哺自然科學(xué)和工程技術(shù)。

撰文 | 丁玖（美國(guó)南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）

【資料圖】

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我在上一篇《返樸》文章《氣象學(xué)家與數(shù)學(xué)家的混沌接力》中講到，是“混沌之父” 愛(ài)德華·洛倫茨揭示出天氣變化具有內(nèi)在“蝴蝶效應(yīng)”混沌本質(zhì)的那篇重磅論文《確定性的非周期流》，催生出“李-約克混沌”的數(shù)學(xué)概念。然而他們據(jù)此而寫(xiě)成的文章初稿卻差點(diǎn)與《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》（下稱“《月刊》”）失之交臂。

李-約克定理被老師提出、學(xué)生證明后，文章真的按照李天巖的 “玩笑式建議”投給了《月刊》。為什么這么漂亮的一個(gè)數(shù)學(xué)定理加上一個(gè)新定義的數(shù)學(xué)名詞“混沌”要投給一個(gè)數(shù)學(xué)上的“大眾雜志”呢？約克自有打算，他深知這個(gè)來(lái)源于自然科學(xué)卻反過(guò)來(lái)又能為自然科學(xué)提供廣泛服務(wù)的數(shù)學(xué)定理將給科學(xué)界傳遞一個(gè)極其重要的信息：確定性的世界中也會(huì)隱藏著隨機(jī)性，所以他想讓盡可能多的人了解并領(lǐng)會(huì)這個(gè)觀念。眾所周知，越是高深專門(mén)的學(xué)術(shù)期刊，讀者人數(shù)越是稀少，約克決心要讓天下的人都知道他和李天巖關(guān)于函數(shù)迭代的絕妙想法和驚人結(jié)果?！对驴肥侨澜缱x者人數(shù)最多的數(shù)學(xué)期刊，于是約克將希望傳播混沌之?dāng)?shù)學(xué)刻畫(huà)的目光投向了它。

然而，投稿結(jié)果卻遭遇了滑鐵盧，并且之后的故事甚至頗具戲劇性。文章投出去不久就被編輯退回，理由是該文寫(xiě)得過(guò)于研究性，不太適合一般讀者，尤其是作為主要讀者群的大學(xué)生。因此編輯建議作者轉(zhuǎn)投研究型專業(yè)雜志?；蛟S編輯還是看到了此文數(shù)學(xué)內(nèi)容的獨(dú)具魅力之處，在拒稿信的末尾又加寫(xiě)了一句話：倘若把文章改寫(xiě)到一般學(xué)生都能讀懂的地步，可以再投回《月刊》考慮。由于這句并非“多余的話”，最后的結(jié)局讓這份雜志與讀者一樣也獲益甚多：我的韓國(guó)裔師兄李弘九教授五年前曾告訴我，李-約克論文在明年將慶祝創(chuàng)刊130周年的《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》歷史上被引用次數(shù)排名第二高；根據(jù)“谷歌學(xué)術(shù)”上的記錄，它已被引用了超過(guò)5670次，這對(duì)通常而言引用次數(shù)遠(yuǎn)非生命科學(xué)和工程技術(shù)等應(yīng)用學(xué)科對(duì)手的數(shù)學(xué)文章而言，是極為罕見(jiàn)的。

但是，當(dāng)時(shí)的李天巖實(shí)在太忙。他一生中最顯赫的三項(xiàng)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)都是在那兩三年做出來(lái)的，除了這項(xiàng)“周期三”的工作已寫(xiě)出文章外，他還在繼續(xù)從事微分方程方面的研究，同時(shí)又在自己選修的一門(mén)研究生課程《非線性方程組數(shù)值解》中獲得靈感而穿梭于大學(xué)的計(jì)算中心和公寓之間，埋首于通過(guò)數(shù)值逼近構(gòu)造性證明布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理，即將開(kāi)辟出求解非線性方程組的“現(xiàn)代同倫延拓法”這一嶄新的疆場(chǎng)。他既沒(méi)有工夫修改這篇文章，也不知道怎么改它。由于沒(méi)有新的應(yīng)用論題的激勵(lì)，約克教授一時(shí)也缺乏動(dòng)力按編輯的建議行事，于是乎，這篇文章就被他們放在一旁束之高閣了將近一年。

上天終于賜給他們一個(gè)修改文章的契機(jī)。1974年是馬里蘭大學(xué)數(shù)學(xué)系“情系”生物數(shù)學(xué)的“特殊年”。這一年里的每個(gè)禮拜都有“生物數(shù)學(xué)”領(lǐng)域里的優(yōu)秀學(xué)者來(lái)這里演講。在五月份的第一個(gè)星期，普林斯頓大學(xué)冠名為“1977屆”的動(dòng)物學(xué)講座教授羅伯特·梅被請(qǐng)來(lái)演講一周。在星期五的報(bào)告中，梅教授專門(mén)講述了他在種群動(dòng)力學(xué)中迭代那個(gè)邏輯斯蒂映射后的種種發(fā)現(xiàn)：在繁殖率參數(shù)μ由3變到4的過(guò)程中，函數(shù)迭代點(diǎn)數(shù)列之最終性態(tài)令人眼花繚亂地愈變愈復(fù)雜。他對(duì)這一現(xiàn)象深感困惑，難以合理解釋，覺(jué)得或許是因?yàn)橛?jì)算誤差從中作怪。聽(tīng)完梅博士的報(bào)告后，約克在送他去往飛機(jī)場(chǎng)的途中，把自己和李天巖被冷淡了將近一年的那篇文章遞給他看。對(duì)方一讀到文章中得出的“周期三則亂七八糟”結(jié)論后，大為吃驚，馬上認(rèn)定此定理大大解釋了他的疑問(wèn)。（參見(jiàn)《一名生態(tài)學(xué)家的數(shù)學(xué)探索》）

約克從梅那里獲得了修改文章的動(dòng)力，他送客歸來(lái)后立刻跑到李天巖的辦公室大叫：“我們應(yīng)該馬上改寫(xiě)這篇文章！”文章在兩個(gè)星期內(nèi)以更闡述性的寫(xiě)作方式修改完畢，重新投回《月刊》，三個(gè)月后被編輯接受，并最終刊登在第八十二卷第十期上，頁(yè)碼為985-992，僅僅八頁(yè)長(zhǎng)。

《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》1975年12月期

梅幸運(yùn)地成了李-約克定理的第一個(gè)受惠人，所以也理所當(dāng)然地充當(dāng)了志愿宣傳員的角色。同年夏天他去歐洲講演時(shí)，到處傳播李-約克定理，“李-約克混沌”的概念很快四處散開(kāi)，也讓概念的兩位提出者聲名遠(yuǎn)播。一篇并非刊登在頂尖數(shù)學(xué)期刊，而是發(fā)表在面向廣大讀者的闡述性數(shù)學(xué)雜志上的文章，成了掀起數(shù)學(xué)界、科學(xué)界及工程界對(duì)混沌動(dòng)力系統(tǒng)理論和應(yīng)用研究新熱潮的開(kāi)路先鋒之作。

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然而，新一波的戲劇性故事出現(xiàn)了。1975年，還在論文正式問(wèn)世前，約克參加了在東德柏林舉辦的第七屆國(guó)際非線性振蕩會(huì)議，當(dāng)他做完關(guān)于“李-約克定理”的報(bào)告后，便和會(huì)議代表一道走上一條游艇集體觀賞沿河美景，一個(gè)生于烏克蘭加盟共和國(guó)的蘇聯(lián)參會(huì)者發(fā)現(xiàn)他近在咫尺，便走了過(guò)去想與之交談，目的是告知對(duì)方自己十年前證明的一個(gè)定理。但這兩個(gè)人一個(gè)不會(huì)俄語(yǔ)，一個(gè)英文不佳，讓他們難以溝通。于是性急的烏克蘭數(shù)學(xué)家找來(lái)一位波蘭同行，但波蘭人只通法語(yǔ)，最后烏克蘭人又找到一個(gè)懂英文的法國(guó)人加入翻譯團(tuán)隊(duì)，經(jīng)過(guò)至少三種聯(lián)合國(guó)通用語(yǔ)言俄語(yǔ)、法語(yǔ)和英語(yǔ)的接力棒口譯，約克終于聽(tīng)懂對(duì)方在向他宣稱早已證明了關(guān)于周期點(diǎn)模式的更廣結(jié)果。然而，為了保護(hù)神圣的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，此人拒絕提供關(guān)于此更多的細(xì)節(jié)，只說(shuō)他回國(guó)后會(huì)寄上論文。四個(gè)月以后，約克收到了那篇論文的復(fù)印件。果然如此，論文的結(jié)果非常漂亮，較李-約克定理中關(guān)于周期點(diǎn)的結(jié)論(i)更為一般。（參見(jiàn)《周期模式的發(fā)現(xiàn)者——紀(jì)念烏克蘭數(shù)學(xué)家沙可夫斯基》）

這位講俄語(yǔ)的數(shù)學(xué)家就是沙可夫斯基(Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky，1936-2022)，烏克蘭基輔人，于1964年在祖國(guó)的《烏克蘭數(shù)學(xué)雜志》(Ukrainian Mathematical Journal) 第十六卷中刊登了一篇俄語(yǔ)論文，其標(biāo)題的中文翻譯是“實(shí)數(shù)軸上到自身的連續(xù)映射循環(huán)之共存性”。在文章中他歷史上第一次對(duì)所有的自然數(shù)給出了如下的排序，現(xiàn)稱為沙可夫斯基序列：

然后他證明了如下的結(jié)果：

沙可夫斯基定理如果將實(shí)數(shù)軸映到自身的一個(gè)連續(xù)函數(shù)有周期為m的周期點(diǎn)，則對(duì)在沙可夫斯基序列中排在m 后面的任一個(gè)自然數(shù)n，該函數(shù)也有周期為n的周期點(diǎn)。

由于在沙可夫斯基序列中，3是排在首位的自然數(shù)，故上述定理的一個(gè)特別推論是：如果將實(shí)數(shù)軸映到自身的一個(gè)連續(xù)函數(shù)有周期為3的周期點(diǎn)，則對(duì)任一個(gè)自然數(shù)n，該函數(shù)也有周期為n的周期點(diǎn)。這恰恰是李-約克定理的結(jié)論(i)。然而，沙可夫斯基的定理就到此為止了，它沒(méi)有關(guān)于在該函數(shù)迭代過(guò)程中任何不規(guī)則行為的結(jié)論，而這個(gè)根本性的結(jié)論出現(xiàn)在李-約克定理的結(jié)論(ii)和(iii)中！

更進(jìn)一步，真正的李-約克定理并非是幾乎所有知道李-約克論文標(biāo)題或聽(tīng)說(shuō)過(guò)“李-約克混沌故事”卻沒(méi)有讀過(guò)原始論文的人們或許以為的“若周期三點(diǎn)存在，則結(jié)論如何如何”的那個(gè)形式，而是其假設(shè)條件更廣、應(yīng)用價(jià)值更大的一顆數(shù)學(xué)藍(lán)寶石。在李天巖與約克的論文《周期三則意味著混沌》中，定理的假設(shè)遠(yuǎn)比“存在周期三點(diǎn)”更為寬闊：存在一個(gè)點(diǎn)a，使得該點(diǎn)被給定連續(xù)函數(shù)持續(xù)迭代兩次后都變大，但在第三次迭代后卻跌落到小于或等于a，或a在該函數(shù)接連迭代兩次后都變小，但在第三次迭代后卻跳升到大于或等于a。如用代數(shù)不等式表示，就是

而“周期三點(diǎn)存在”這一假設(shè)只是滿足如上條件的一個(gè)特例而已，亦即上面的廣義不等號(hào)“≤”或“≥”換成等號(hào)“=”。這個(gè)特殊的情形成就了文章的四個(gè)英文單詞精煉標(biāo)題，但卻導(dǎo)致了一個(gè)小小的副作用，就是讓許許多多沒(méi)有讀過(guò)文章主體的人誤認(rèn)為定理只對(duì)具有周期三點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)成立。

于是，最準(zhǔn)確的李-約克混沌定理是如下的命題表述：

李-約克定理設(shè)f是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，將定義域區(qū)間映到自身。若在定義域中存在一點(diǎn)a使得

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在打算用淺顯語(yǔ)言論證李-約克定理結(jié)論(i)之前，我先解釋一下結(jié)論(ii)和(iii)中出現(xiàn)的三個(gè)數(shù)學(xué)概念：不可數(shù)、上極限及下極限?！安豢蓴?shù)”的反義詞是“可數(shù)”。一個(gè)集合如果其所有元素的個(gè)數(shù)與所有自然數(shù)的個(gè)數(shù)一樣多，即這些元素可以像自然數(shù)那樣排成一個(gè)無(wú)窮序列，則這個(gè)集合被稱為是可數(shù)的。反之，如果一個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)比所有的自然數(shù)還要多，同時(shí)又至少和所有的無(wú)理數(shù)一樣多，那么我們就說(shuō)這個(gè)集合是不可數(shù)的。所有的實(shí)數(shù)全體，即把所有的有理數(shù)和所有的無(wú)理數(shù)放在一起，是不可數(shù)的。同樣地，任意兩個(gè)不同實(shí)數(shù)之間的所有實(shí)數(shù)也是不可數(shù)的。

李-約克定理中的那個(gè)不可數(shù)集合A也常被稱為一個(gè)“亂序集”，這里的“亂序”是英文過(guò)去分詞scrambled的翻譯。一對(duì)點(diǎn) x 和 y 被叫作亂序，如果將給定的函數(shù)重復(fù)應(yīng)用于這對(duì)點(diǎn)，它們會(huì)靠得更近，然后分開(kāi)，然后靠得更近，然后分開(kāi)，等等，從而使它們可以任意地相互靠近，但又不可能永遠(yuǎn)靠得很近。人生中這樣的經(jīng)歷很多，比如經(jīng)常吵架的夫妻好起來(lái)的時(shí)候可以“親密無(wú)間”，但一旦因小事導(dǎo)致彼此怒目而視就可能離得遠(yuǎn)遠(yuǎn)的。這和炒雞蛋是類似的現(xiàn)象，因此英語(yǔ)詞組scrambled eggs的中文翻譯是“炒雞蛋”。常在家中廚房里大炒雞蛋的動(dòng)力系統(tǒng)學(xué)者可能最善于吸取李-約克混沌的精髓！如果一個(gè)集合的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)都是亂序的，則稱該集合是亂序的。這樣，李-約克定理結(jié)論的第二部分可以簡(jiǎn)寫(xiě)為“存在定義域內(nèi)一個(gè)不可數(shù)的亂序集?！?/p>

現(xiàn)在，我開(kāi)始證明定理的結(jié)論(i)，但先證明其中n = 1的特殊情形，讓讀者熱一熱身后慢慢進(jìn)入角色。然后我們考慮一般的情形，但如同李天巖教授所倡導(dǎo)并于2017年他一生中最后一次親手實(shí)踐的那樣，我不對(duì)大于 1的任意自然數(shù)n求證，而只對(duì)n = 4證之，因?yàn)樗枷氲幕鸹ㄈ谶@里閃爍。記b = f(a)，c = f(b)及d = f(c)。我只證明：若d ≤ a < b < c，則f具有一個(gè)周期為4的周期點(diǎn)。希望好學(xué)的讀者讀完證明后，用類似的方法補(bǔ)證：若d ≥ a > b > c，則同樣的斷言也對(duì)。

證明的基礎(chǔ)是初等微積分里關(guān)于連續(xù)函數(shù)的“介值定理”；約克教授已在《返樸》文章《一個(gè)考分總拿C的學(xué)生是如何成為著名數(shù)學(xué)家的？》給出了該定理的證明。沒(méi)有學(xué)過(guò)它的人也會(huì)懂得它的幾何意義：定義在閉區(qū)間[a, b]上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)的圖象，如果其兩端點(diǎn)各在x-軸的一邊，則它一定穿過(guò)x-軸。翻譯成代數(shù)語(yǔ)言，就是：如果閉區(qū)間[a, b]上的連續(xù)函數(shù)f滿足f(a)f(b) < 0，則f在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)一定有零點(diǎn)。這條性質(zhì)有一重要的推論：連續(xù)函數(shù)將定義域中的區(qū)間映成區(qū)間。換言之，設(shè)I是連續(xù)函數(shù)f定義域的一個(gè)子區(qū)間，則它在f下的像f(I) = {f(x): x∈I}也是一個(gè)區(qū)間。這里數(shù)學(xué)符號(hào)“∈”表示“屬于”，即它左邊的x是它右邊I的一個(gè)元素。區(qū)間具有“連通性”：如果一個(gè)區(qū)間包含兩點(diǎn)u < v，則它包含閉區(qū)間[u, v]。這個(gè)性質(zhì)將會(huì)像變魔術(shù)一般地在后面李-約克定理的證明中多次被玩。

介值定理的另一個(gè)推論是著名的布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理在一維情形時(shí)的特例：若定義在[a, b]上的連續(xù)函數(shù)f的值域f([a, b])包含在[a, b]內(nèi)，則f在[a, b]中有不動(dòng)點(diǎn)。要證明它，定義連續(xù)函數(shù)g(x) = f(x) – x。顯然g(a) = f(a) – a ≥ 0及g(b) = f(b) – b ≤ 0。若a或b是f的不動(dòng)點(diǎn)，則推論得證，否則的話，必有g(shù)(a)g(b) < 0，故由介值定理，開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)某個(gè)p是g的零點(diǎn)，它就是f的不動(dòng)點(diǎn)。

上面眾所周知的不動(dòng)點(diǎn)定理在這里用不上，于是，博士生李天巖為了完成導(dǎo)師的光榮任務(wù)，用介值定理又造出一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理：若定義在[a, b]上的連續(xù)函數(shù)f的值域f([a, b])包含[a, b]，則f在[a, b]中有不動(dòng)點(diǎn)。下面我來(lái)證明這個(gè)“李天巖不動(dòng)點(diǎn)定理”：

由假設(shè)，閉區(qū)間[a, b]是值域區(qū)間f([a, b])的子集，故數(shù)a和b都在f([a, b]) 中，因而存在[a, b]中的兩個(gè)數(shù)α和β，使得a = f(α)及b = f(β)。既然α和β屬于[a, b]，就有如下的小于或等于關(guān)系：a ≤ α ≤ b及a ≤ β ≤ b。定義連續(xù)函數(shù)g(x) = f(x) – x，則

g(α) = f(α) - α = a – α ≤ 0， g(β) = f(β) - β = b – β ≥ 0。

這樣，介值定理保證在α和β之間有f的不動(dòng)點(diǎn)（可能為α或β）。因?yàn)橐驭梁挺聻閮啥它c(diǎn)的閉區(qū)間[α, β]或[β, α]是[a, b]的子區(qū)間，這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)屬于[a, b]。證畢。

李天巖只需想出最后一個(gè)“引理”就可以證明“約克猜想”為真了。它是：設(shè)f是閉區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)且[a, b]包含在值域f(I)之中，則I包含一個(gè)閉區(qū)間J使得f(J) = [a, b]。這里我稱它為“李天巖引理”，它在后面關(guān)于李-約克定理結(jié)論(i)內(nèi)n = 4時(shí)的證明中要被用到三次，而對(duì)一般n的情形證明時(shí)則要用n-1次，所以必須要證出它：

因?yàn)閒(I)包含[a, b]，所以存在I中的兩點(diǎn)α和β使得f(α) = a及f(β) = b。設(shè)α < β。令r為[α, β]中所有滿足等式f(r) = a的r中最靠近β的那個(gè)。它存在的理由是：如果只有有限個(gè)等式f(r) = a，那么最靠近β的那個(gè)r一定存在（這和命題“有限個(gè)實(shí)數(shù)中有最大數(shù)”是同一個(gè)道理），如果有無(wú)窮多個(gè)這樣的等式，則需要更高深一點(diǎn)的論據(jù)了：存在單調(diào)遞增數(shù)列{rn}一步步向β挺進(jìn)且滿足f(rn) = a，由單調(diào)收斂定理知{rn}收斂到極限r(nóng)，因?yàn)閒是連續(xù)函數(shù)，在恒等式f(rn) ≡ a中取n趨于無(wú)窮大時(shí)的極限，就有f(r) = a，這個(gè)r最靠近β。然后，出于同樣的理由，在r和β之間滿足f(s) = b的所有s中取最靠近r的那個(gè)。令J = [r, s]，則f(J) = [a, b]。讀者可用類似的論據(jù)對(duì)第二種情形α > β寫(xiě)下證明。證畢。

好了，我們的裝備齊全了，可以攻克李-約克定理結(jié)論(i)。先證f有不動(dòng)點(diǎn)，這相對(duì)簡(jiǎn)單。采用該定理的所有符號(hào)，從假設(shè)f(b) = c和f(c) = d ≤ a < b < c及區(qū)間的連通性，可得如下關(guān)系

f([b, c]?[d, c]?[b, c]，

其中符號(hào)“?”表示其左邊的集合包含右邊的集合。故由上述的李天巖不動(dòng)點(diǎn)定理，連續(xù)函數(shù)f在區(qū)間[b, c]中有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

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看懂如上數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程的讀者一定會(huì)佩服邏輯推理的處處嚴(yán)密之妙。堅(jiān)持求證精神，養(yǎng)成質(zhì)疑習(xí)慣，能極大地保護(hù)我們不被當(dāng)今網(wǎng)絡(luò)世界中的不實(shí)信息迷惑，因?yàn)檫壿嫷牧α渴菑?qiáng)大的。這也是為何我寫(xiě)作數(shù)學(xué)科普文章時(shí)不只滿足于講講故事，而是設(shè)法引導(dǎo)讀者思考、推理。

上面對(duì)于n = 4的證明思想對(duì)于一般n情形的李-約克定理結(jié)論(i)之證明別無(wú)二樣。此外結(jié)論(ii)和(iii)的證明思路依然出自上面，不過(guò)其演算過(guò)程更為繁復(fù)，我也不想多花讀者的時(shí)間了，感興趣者可以閱讀李-約克原始論文的附錄2。

有趣的是，李-約克定理中的條件無(wú)論是“深受束縛”的“周期三點(diǎn)存在”還是“放任自由”的“不等式假設(shè)”，定理的證明完全一樣，但后者更廣的條件就將“李-約克定理關(guān)于周期-n點(diǎn)的存在性結(jié)論是沙可夫斯基定理的特例”這一非真判斷掃進(jìn)了垃圾堆。某些關(guān)于離散動(dòng)力系統(tǒng)的教科書(shū)在講到周期點(diǎn)時(shí)只提沙可夫斯基定理，不提李-約克定理，作者或許就中了這個(gè)論斷的毒。

十一年前，當(dāng)我撰寫(xiě)科普著作《智者的困惑——混沌分形漫談》時(shí)，曾與李天巖教授通信請(qǐng)教幾個(gè)歷史事件的來(lái)龍去脈。他在給我的一封信件中這樣比較李-約克定理和沙可夫斯基定理：

“我們定理的更一般假設(shè)和沙可夫斯基的序列有一個(gè)很大的不同，可是這在應(yīng)用上卻有極大的差距。好比說(shuō)在種群動(dòng)力學(xué)上，種群的第一代和第二代都是在增長(zhǎng)，但是在第三代卻突然大降，于是乎什么‘鬼現(xiàn)象’都可能發(fā)生，但是第三代的種群數(shù)要降到和第一代一模一樣（意指周期三點(diǎn)存在）恐怕不大可能。從這個(gè)角度來(lái)看，沙可夫斯基序列也許比較適合放在象牙塔里?！?/p>

這里“象牙塔”的意思是為追求數(shù)學(xué)之美而研究數(shù)學(xué)，但罔顧其與自然界的深層關(guān)系。沙可夫斯基定理確實(shí)是離散動(dòng)力系統(tǒng)這一門(mén)現(xiàn)代數(shù)學(xué)科目中的漂亮結(jié)果，但它也折射出一部分?jǐn)?shù)學(xué)家的哲學(xué)理念。他們?yōu)榱藬?shù)學(xué)的光榮而做數(shù)學(xué)，以“數(shù)學(xué)無(wú)用”而自豪。他們當(dāng)中最著名的代表人物就是上世紀(jì)英國(guó)杰出的純粹數(shù)學(xué)家哈代 (Godfrey Harold Hardy，1877-1947)。他在經(jīng)典隨筆《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》(A Mathematician’s Apology) 中稱那些在工程技術(shù)中應(yīng)用廣泛的微積分是“缺乏美學(xué)價(jià)值的數(shù)學(xué)”，在他眼里，最美的數(shù)學(xué)是沒(méi)有用途的。然而，正是微積分學(xué)中的介值定理，敲出了自然界中“周期三”的外殼緊緊裹住的“擬隨機(jī)硬核”。

這個(gè)表達(dá)確定性系統(tǒng)擬隨機(jī)性的數(shù)學(xué)名詞“混沌”首次被李-約克論文所創(chuàng)建。后人將在周期三的背景下產(chǎn)生的混沌特指為“李-約克混沌”，以別于從80年代起離散動(dòng)力系統(tǒng)教科書(shū)中出現(xiàn)的更廣泛并且更標(biāo)準(zhǔn)的“混沌”定義。一個(gè)常采用的定義如下：函數(shù)f: [a, b] → [a, b]被稱為是混沌的，如果它在定義域上具有對(duì)初始條件的敏感依賴性，或它在所有的非最終周期點(diǎn)上都具有正的李雅普諾夫指數(shù)。這個(gè)著名的指數(shù)是關(guān)于對(duì)初始條件敏感依賴性的一個(gè)量化。也有一個(gè)“強(qiáng)混沌”定義：混沌函數(shù)f: [a, b] → [a, b]被稱為是強(qiáng)混沌的，如果它是傳遞

由此看來(lái)，對(duì)于混沌函數(shù)確定性意義下的迭代過(guò)程，絕大多數(shù)的迭代點(diǎn)軌道未來(lái)的走向是不可預(yù)測(cè)的，呈現(xiàn)出亂七八糟的最終狀態(tài)，似乎難以遵循普遍規(guī)律。然而，我們對(duì)此真的是一籌莫展嗎？在我們身在其中的自然世界，確定性與隨機(jī)性是并立于世的兩大客觀現(xiàn)象；對(duì)應(yīng)地，研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)——概率論，同樣在探索混沌迭代的歷程中扮演了不凡的角色。這時(shí)，一門(mén)綜合性數(shù)學(xué)學(xué)科——遍歷理論——身負(fù)重任出征疆場(chǎng)，把混沌這匹野馬調(diào)教得服服帖帖。

出品：科普中國(guó)

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